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求证:1/(a+b)+1/(a+2b)+...+1/(a+nb)<n/根号[(a+b/2)(a+(n+1)b/2...

发布网友发布时间：2024-05-08 15:27

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热心网友时间：2024-08-21 04:43

∵[（a+b+……+m）/n]＾2≤（aa+bb+……+mm）/n（正数均值的平方小于或等于他们平方的均值）
∴（a+b+……+m）＾2≤n（aa+bb+……+mm）
运用这个重要不等式、

∴[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2＜n{[1/（a+b）]＾2+[1/(a+2b)]＾2+……+[1/(a+nb)]＾2}
＜n{1/[（a+1/2b）(a+b)]+1/(a+b)(a+2b)+……+ 1/[a+（n-1）b](a+nb)}
＜（n/b）*{1/（a+1/2b）-1/(a+b)+1/(a+b)-1/(a+2b)+
1/（a+3b）-1/（a+4b）+……+1/[a+（n-1）b]-1/(a+nb)}
＜（n/b）*{1/（a+1/2b）-1/(a+nb)}
＜（n/b）*{1/（a+1/2b）-1/(a+nb+1/2b)}
=（n/b）*{nb/[（a+1/2b）（a+nb+1/2b）]
=nn/[（a+1/2b）（a+nb+1/2b）]
＜nn/{（a+1/2b）[a+（n+1）/2b）]}
即、[1/(a+b)+1/(a+2b)+……+1/(a+nb)]＾2
＜nn/{（a+1/2b）[a+（n+1）/2b）]}
开方即得结果，

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