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已知函数f(x)=x3-ax+b存在极值点.(1)求a的取值范围;(2)过曲线y=f(x...

发布网友发布时间：2024-10-24 10:18

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热心网友时间：2024-11-09 07:01

（1）函数f（x）的导数为f'（x）=3x2-a，若函数存在极值点，
则f'（x）=3x2-a=0有解，即a=3x2，
∴a≥0，
当a=0时，f'（x）=3x2-a=3x2≥0，此时函数f（x）单调递增，无极值，
∴a＞0．
（2）（ⅰ）过点P（1，0）作曲线的切线，设切点（x0，f（x0）），
则切线方程为：y?f(x0)＝(3x20?a)(x?x0)，
将P（1，0））代入得：?f(x0)＝(3x20?a)(1?x0)，
即2x30?3x20+a?b＝0，（*），
由条件知切线恰有两条，
∴方程（*）恰有两根．
令u（x）=2x3-3x2+a-b，
则u′（x）=6x2-6x=6x（x-1），
则函数u（x）有两个极值点x=0与x=1，
于是u（0）=0或u（1）=0
当u（0）=0时，a=b成立．
当u（1）=0时，a-b=1，此时f（x）=x3-ax+a-1=（x-1）（x2+x+1-a）经过P（1，0）与条件P在曲线外不符合，
∴a=b．
（ⅱ）当a=b时，2x30?3x20+a?b＝0，（*），
等价为x20(2x0?3)＝0，解得x0=0或x0＝32，
此时f（0）=b=a，即A（0，a），
f（32）=278?a2，即B（32，278?a2）．
则AP的方程为x1+ya＝1，即ax+y-a=0，
则|AP|=a2+1，
点B到直线ax+y-a=0的距离d=|32a+278?a2?a|a2+1＝278a2+1，
∴△PAB的面积的面积为S=12|AP|?d=12×a2+1?278a2+1＝12×278＝2716为定值．

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