推导当测量值x=AmBnCp时的相对误差rx的表达式?
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发布时间：2024-10-24 12:19
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时间：2024-10-27 01:45
假设实际值为$x_0$，则$x$的绝对误差可以表示为：$$\Delta x = x-x_0$$
其中，$x_0$表示实际值，$x$表示测量值。
相对误差定义为：
$$r_x=\frac{\Delta x}{x_0}\times 100\%$$
根据分数幂的定义，我们可以将$x$表示为：
$$x=A^m\times B^n \times C^p$$
假设$x_0$也可以表示为$A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}$，则相对误差可以表示为：
$$r_x = \frac{x-x_0}{x_0}\times 100\% = \frac{A^m\times B^n \times C^p - A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}\times 100\%$$
我们将该式展开，得到：
$$\begin{aligned}r_x &= \frac{(A^m-A_0^{m_0})\times B^n \times C^p}{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}\times 100\% + \frac{A_0^{m_0}\times (B^n-B_0^{n_0}) \times C^p}{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}\times 100\% + \frac{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times (C^p-C_0^{p_0})}{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}\times 100\% \\ &= r_A + r_B + r_C \end{aligned}$$
其中，$r_A$表示括号内第一项对应的相对误差，$r_B$和$r_C$同理，即：
$$r_A = \frac{(A-A_0)\times B_0^{n_0} \times C_0^{p_0}}{A_0^{m_0}\times B_0^{n_0}\times C_0^{p_0}}\times 100\%$$
$$r_B = \frac{A_0^{m_0}\t
