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三角形ABC中,对应三边为a,b,c,且1/a,1/b,1/c成等差数列,求证:B<90...

发布网友发布时间：2024-10-24 11:25

共5个回答

热心网友时间：2024-11-09 09:59

反证法：
设：B≥90°
∵∠A、∠C都比∠B小
在三角形中，大角对大边
∴b＞a、b＞c
即：1/b＜1/a、1/b＜1/c
1/a，1/b，1/c不可能成等差数列，矛盾
∴B＜90°

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

热心网友时间：2024-11-09 10:03

证法一：不妨设c<=a,则2/a<=1/a+1/c<=2/c
但2/b=1/a+1/c,故2/a<=2/b<=2/c所以c<=b<=a
所以a^2+c^2-b^2=(a^2-b^2)+c^2>0,故cosB>0,B<90°

法二：根据2/b=1/a+1/c>=2/(ac)^0.5有b^2<=ac
所以a^2+c^2-b^2>=2ac-b^2>=2ac-ac=ac>0，故cosB>0,B<90°

热心网友时间：2024-11-09 10:00

有等差数列的条件可知b的长度在ac中间，
则最大边一定不是b，有大边对大角,则B不最大，则其小于90°

热心网友时间：2024-11-09 10:05

因为2/b=1/a+1/c=(a+c)/ac,b=2ac/(a+c)
所以cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac》=(2ac-(2ac/(a+c))^2)/2ac=1--2ac/(a+c)^2》1-1=0
因为ac相等的时候b=a=c,此时B=60度也成立，所以cosB>0，B<90度
此题用了2次基本不等式，一次是a^2+c^2》2ab，还一次是(a+c)^2》2ab.
希望能帮到你

热心网友时间：2024-11-09 10:04

a分之一加c分之一等于b分之2，a^2+c^2＞= 2ac=b(a+c)>b^2，由余弦定理cosB＞0，得证

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