研究生教学用书·泛函分析教程目录
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发布时间：2024-10-24 12:31
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时间：2024-11-09 22:19
本教程旨在为研究生提供泛函分析的基础知识，内容涵盖线性泛函分析、谱论、算子半群和无穷维空间的微分学等多个方面，旨在深入理解泛函分析的理论框架与应用。
第一章 线性泛函分析基础深入探讨了拓扑空间与拓扑线性空间的基本概念，包括赋准范线性空间、赋范线性空间、内积空间、一致凸空间与严格凸空间。紧性部分详细介绍了紧集的概念、紧集上的连续映射、Zorn引理、距离空间中的列紧集与完全有界集，以及Banach-Alaoglu定理等核心理论。Hahn-Banach定理及其几何形式、线性算子基本定理（如开映射定理、逆算子定理、闭图像定理、共鸣定理）和Schauder基等概念被充分阐述，最后附有习题以加深理解。
第二章 谱论Ⅰ：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子从Banach代数的概念出发，深入探讨了线性算子的谱、紧算子与Fredholm算子的性质与应用，为后续章节奠定了坚实的理论基础。
第三章 谱论Ⅱ：Hilbert空间上的正规算子，从Banach代数的Gelfand表示到C*代数、谱测度与积分、Hilbert空间上正规算子的谱分解，系统地构建了Hilbert空间上算子的理论框架。
第四章 无界算子详细介绍了对称算子与自伴算子、无界算子序列的收敛性等内容，为理解算子的谱理论和性质提供了深入的见解。
第五章 算子半群从向量值函数、Bochner积分与Pettis积分出发，探讨了算子半群的概念、表示及其特征，为研究动力系统与控制理论提供了工具。
第六章 无穷维空间的微分学介绍了映射的微分、隐函数定理、泛函极值，为解决无穷维空间中的微分方程和优化问题提供了理论基础。
第七章 拓扑度涵盖了Brouwcr度、Leray-Schauder度的定义与性质，以及不动点定理及其在代数学、不变子空间和对策论中的应用，展示了泛函分析与拓扑学的紧密联系。
所有章节均附有习题，旨在帮助读者巩固所学理论并深化理解。
