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132lim_(x0)(cos(sinx)-cosx)/((1-cosx)sin^2x)=(A)

发布网友发布时间：2024-10-24 13:29

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热心网友时间：2024-11-13 21:05

我们可以使用洛必达法则来求解该极限。
将分子和分母分别求导：
f'(x) = -sin(sinx)cosx + sinx(sinxcosx - cos(sinx))
g'(x) = sinx(1-cosx) - cosxsinx
将极限表达式代入:
A = lim_(x→0) f(x)/g(x)
由于这个极限是一个 0/0 型的不定式，我们可以对它使用洛必达法则：
A = lim_(x→0) f'(x)/g'(x)
计算出 f'(x) 和 g'(x) 的表达式，并对其求极限，得到：
A = lim_(x→0) [-sin(sinx)cosx + sinx(sinxcosx - cos(sinx))] / [sinx(1-cosx) - cosxsinx]
化简可得：
A = lim_(x→0) [sin^2(sinx) - cos(sinx)cosx + sinx^2cosx] / [sinx(1-cosx)]
继续化简可得：
A = lim_(x→0) [sin^2(sinx) / sinx] / [(1-cosx)/x]
由于该极限依然是一个 0/0 型的不定式，我们可以对其再次使用洛必达法则：
A = lim_(x→0) [cos(sinx)sinx] / [sinx^2/2]
化简可得：
A = 2lim_(x→0) cos(sinx) / sinx
因此，题目所求的极限为 2。

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